Visa källa för Differentialer för fasta ämnen och vätskor

== Differentialer ==

En differential är en infinitesimal - oändligt liten - ändring i en
funktion. Exempelvis, om det för en vanlig endimensionell funktion <math>y=y(x)</math> för ett
visst ''x''-värde gäller att
:<math>
\frac{dy}{dx}=5
</math>
kan vi "dela upp" derivatan:
:<math>
dy = 5\,dx
</math>
vilket säger oss att en infinitesimal ändring av ''x'' ger upphov till
en fem gånger så stor ändring av ''y''. Det allmäna uttrycket för
differentialen blir förstås
:<math>
dy = \frac{dy}{dx}\,dx
</math>

Differentialer är användbara för
att lösa separabla differentialekvationer. Om t.ex. ett problem leder
oss till differentialekvationen
:<math>
\frac{dy}{dx}=axy
</math>
så kan vi skriva detta som
:<math>
\frac{dy}{y}=ax\,dx
</math>
och sedan ta fram ett explicit uttryck genom integration:
:<math>
\int_{y_1}^{y_2} \frac{dy}{y}=\int_{x_1}^{x_2} ax\,dx \;\;
\Leftrightarrow \;\; y_2=y_1\exp\left(\frac{a}{2}\left[x_2^2-x_1^2 \right]\right)
</math>


Om vi har en funktion av två variabler, <math>z=z(x,y)</math>, så kommer
ändringen i <math>z</math> bero både på ändringen i <math>x</math> och ändringen i <math>y</math>, och
precis som i det endimensionella fallet är det derivatorna som talar om hur
stor ändringen i <math>z</math> blir:
:<math>
dz =\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y}\,dx + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{x}\,dy\;\;\;\;</math>(1)
där <math>\displaystyle\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y}</math> är den partiella derivatan av <math>z</math> med avseende
på <math>x</math>, då <math>y</math> hålls konstant.

Vi ska nu studera några olika storheter, som var och en kan skrivas
som en funktion av två andra storheter, och se vad vi kan lära oss av
differentialuttrycket (ekv. 1) i de olika fallen.

== Volym ==

För ett system med konstant sammansättning är tillståndsekvationen ett samband mellan
tre storheter, oftast <math>V</math>, <math>p</math>, och <math>T</math>. Låt oss nu välja att
skriva volymen som funktion av temperaturen och trycket:
:<math>
V=V(T,p)
</math>
Enligt ekv. (1) kan vi då beräkna en infinitesimal volymändring genom:
:<math>
dV=\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}\,dT + \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{T}\,dp\;\;\;\;\;</math> (2)

De partiella derivatorna i det uttrycket (dividerade med volymen för
att bli intensiva storheter) har fått egna beteckningar:
:<math>
\frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p} = \alpha\;\;\;</math> (utvidgningskoefficient)
:<math>
- \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{T} = \kappa_{\!_T}\;\;\;</math> (isoterm kompressibilitet)

Numeriska värden på <math>\alpha</math> och <math>\kappa_{\!_T}</math> för några olika ämnen
finns i tabellsamlingen i kompendiet. Observera att för gaser är det
inte så stor idé att ange tabellvärden, dels eftersom de beror på tryck och
temperatur, dels eftersom ideal gas-uttrycken (se uppg 10 i kompendiet) stämmer bra överens med verkligheten vid
vanliga tryck och temperaturer.

Antag nu att vi håller trycket konstant och ändrar
temperaturen. Ändringen i volym ges då av
:<math>
dV=\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}\,dT = \alpha V\,dT
</math>
vilket kan integreras:
:<math>
\int_{V_1}^{V_2}\,\frac{dV}{V}=\int_{T_1}^{T_2}\,\alpha\, dT
</math>
Om <math>\alpha</math> är en konstant, d.v.s. oberoende av <math>T</math>, ger detta 
:<math>
\ln \frac{V_2}{V_1}=\alpha(T_2-T_1)
</math>
vilket är detsamma som
:<math>
V_2=V_1 \mathrm{e}^{\alpha(T_2-T_1)}
</math>

På motsvarande sätt kan man visa att om temperaturen hålls konstant så
ges volymändringen av
:<math>
V_2=V_1 \mathrm{e}^{-\kappa_{\!_T}(p_2-p_1)}
</math>
förutsatt att <math>\kappa_{\!_T}</math> är oberoende av trycket.

Om både temperaturen och trycket ändras kan vi utnyttja att volymen är
en tillståndsfunktion. Istället för att följa en väg där temperaturne
och trycket ändras samtidigt, kan vi välja att följa en väg där vi
först ändrar temperaturen medan vi håller trycket konstant, och sedan
ändrar trycket medan vi håller volymen konstant. Vi måste bara komma
ihåg att temperaturen och utgångsvolymen för den andra delprocessen är slutvolymen
och sluttemperaturen för den första delprocessen.


Vi skulle också kunna vara intresserade av hur <math>p</math> beror på <math>T</math> för
en vätska eller fast ämne innesluten i en konstant volym. Eftersom <math>dV=0</math> erhålls från ekv. (2):
:<math>
0=\frac{dV}{V}=\alpha dT - \kappa_T dp
</math>
och vi har återigen ett uttryck med bara två differentialer som kan
integreras:
:<math>
\int_{p_1}^{p_2}\,dp =\int_{T_1}^{T_2}\,\frac{\alpha}{\kappa_T}\, dT
</math>
För att komma vidare behöver vi i princip veta hur <math>\alpha</math> och
<math>\kappa_T</math> beror på tryck och temperatur, men om vi antar att de är
konstanta i det aktuella intervallet, får vi helt enkelt:
:<math>
p_2-p_1=\frac{\alpha}{\kappa_T}(T_2-T_1)
</math>

== Inre energi ==

Om vi betraktar inre energin som en funktion av temperaturen och
volymen, <math>U=U(T,V)</math>, och utvecklar differentialen ''dU'' på samma sätt som
innan, får vi:
:<math>
dU=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}\,dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}\,dV
</math>
Den första derivatan känner vi igen som <math>C_V</math>. Den andra kallas för inre
tryck, <math>\pi_T</math>, och beror på interaktionerna mellan
molekylerna. Om attraktiva interaktioner dominerar är
<math>\pi_T>0</math>. Om repulsiva interaktioner dominerar är <math>\pi_T<0</math>. För en ideal gas gäller att <math>\pi_T=0</math>, d.v.s. att inre
energin bara beror på temperaturen. 

Man kan härleda ett uttryck för det inre trycket som bara beror på
tryckets temperaturberoende:
:<math>
\pi_T=T\,\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{V}\,-\,p
</math>
Därigenom kan vi beräkna det inre trycket för en valfri
tillståndsekvation <math>p=p(V,T)</math>. Om vi exempelvis sätter in allmäna
gaslagen, <math>p=nRT/V</math>, erhålls som väntat <math>\pi_T=0</math>, medan om vi sätter in van der
Waals gasekvation erhålls
:<math>
\pi_T=a\,\frac{n^2}{V^2}
</math>

== Entalpi ==
Om vi gör likadant med entalpin, <math>H=H(T,p)</math>, får vi:
:<math>
dH=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{p}\,dT + \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{T}\,dp\;\;\;\;\;\;</math> (3)
Återigen känner vi igen den första derivatan som <math>C_p</math>, medan den
andra kan uttryckas som 
:<math>
\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{T}=-\mu_{JT}\,C_p
</math>
där <math>\mu_{JT}</math> är den praktiskt och historiskt viktiga
Joule-Thomson-koefficienten, vilken definieras som
:<math>
\mu_{JT}= \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{H}
</math>

En sådan expansion vid konstant entalpi uppstår (vilket visas i handledningen till datorlabben) när gas flödar genom en porös plugg (eller helt enkelt en förträngning) utan värmeöverföring
till omgivningen, ett experiment som
brukar kallas Joule-Thomson-experimentet. Genom att mäta
temperaturändringen för ett givet tryckfall erhålls <math>\mu_{JT}</math>
direkt. För en ideal gas är <math>\mu_{JT}=0</math>, vilket även innebär att den
andra termen i ekv. (3) försvinner.

De flesta verkliga gaser har <math>\mu_{JT}<0</math>, d.v.s. temperaturen minskar när
gasen passerar förträngningen. Detta kan användas för att konstruera
ett enkelt kylskåp, vars kylsystem förutom förträngningen ("stryparen") bara
består av en kompressor som höjer trycket på gasen innan den får
passera stryparen igen. Tyvärr får man inte så stor kyleffekt eftersom
<math>\mu_{JT}</math> är ganska liten. Därför används i moderna kylskåp istället ett kylmedium som
ändrar fas under sin cirkulering. Närmare bestämt, när den
komprimerade gasen avger sin värme utanför kylskåpet kondenseras den
till vätska som dock fortfarande har högt tryck. När vätskan passerar stryparen
inuti kyldelen får vätskan så lågt tryck att den kokar och
därigenom upptar värme från luften i kylskåpet.