Differentialer för fasta ämnen och vätskor

Från KFKA10
Hoppa till: navigering, sök

Differentialer

En differential är en infinitesimal - oändligt liten - ändring i en funktion. Exempelvis, om det för en vanlig endimensionell funktion för ett visst x-värde gäller att

kan vi "dela upp" derivatan:

vilket säger oss att en infinitesimal ändring av x ger upphov till en fem gånger så stor ändring av y. Det allmäna uttrycket för differentialen blir förstås

Differentialer är användbara för att lösa separabla differentialekvationer. Om t.ex. ett problem leder oss till differentialekvationen

så kan vi skriva detta som

och sedan ta fram ett explicit uttryck genom integration:


Om vi har en funktion av två variabler, , så kommer ändringen i bero både på ändringen i och ändringen i , och precis som i det endimensionella fallet är det derivatorna som talar om hur stor ändringen i blir:

(1)

där är den partiella derivatan av med avseende på , då hålls konstant.


Vi ska nu studera några olika storheter, som var och en kan skrivas som en funktion av två andra storheter, och se vad vi kan lära oss av differentialuttrycket (ekv. 1) i de olika fallen.

Volym

För ett system med konstant sammansättning är tillståndsekvationen ett samband mellan tre storheter, oftast , , och . Låt oss nu välja att skriva volymen som funktion av temperaturen och trycket:

Enligt ekv. (1) kan vi då beräkna en infinitesimal volymändring genom:

(2)

De partiella derivatorna i det uttrycket (dividerade med volymen för att bli intensiva storheter) har fått egna beteckningar:

(utvidgningskoefficient)
(isoterm kompressibilitet)

Numeriska värden på och för några olika ämnen finns i tabellsamlingen i kompendiet. Observera att för gaser är det inte så stor idé att ange tabellvärden, dels eftersom de beror på tryck och temperatur, dels eftersom ideal gas-uttrycken (se uppg 10 i kompendiet) stämmer bra överens med verkligheten vid vanliga tryck och temperaturer.

Antag nu att vi håller trycket konstant och ändrar temperaturen. Ändringen i volym ges då av

vilket kan integreras:

Om är en konstant, d.v.s. oberoende av , ger detta

vilket är detsamma som

På motsvarande sätt kan man visa att om temperaturen hålls konstant så ges volymändringen av

förutsatt att är oberoende av trycket.

Om både temperaturen och trycket ändras kan vi utnyttja att volymen är en tillståndsfunktion. Istället för att följa en väg där temperaturne och trycket ändras samtidigt, kan vi välja att följa en väg där vi först ändrar temperaturen medan vi håller trycket konstant, och sedan ändrar trycket medan vi håller volymen konstant. Vi måste bara komma ihåg att temperaturen och utgångsvolymen för den andra delprocessen är slutvolymen och sluttemperaturen för den första delprocessen.


Vi skulle också kunna vara intresserade av hur beror på för en vätska eller fast ämne innesluten i en konstant volym. Eftersom , så erhålls från ekv. (2):

och vi har återigen ett uttryck med bara två differentialer som kan integreras:

För att komma vidare behöver vi i princip veta hur och beror på tryck och temperatur, men om vi antar att de är konstanta i det aktuella intervallet, får vi helt enkelt:

Inre energi

Om vi betraktar inre energin som en funktion av temperaturen och volymen, , och utvecklar differentialen dU på samma sätt som innan, får vi:

Den första derivatan känner vi igen som . Den andra kallas för inre tryck, , och beror på interaktionerna mellan molekylerna. Om attraktiva interaktioner dominerar är . Om repulsiva interaktioner dominerar är . För en ideal gas gäller att , d.v.s. att inre energin bara beror på temperaturen.

Man kan härleda ett uttryck för det inre trycket som bara beror på tryckets temperaturberoende:

Därigenom kan vi beräkna det inre trycket för en valfri tillståndsekvation . Om vi exempelvis sätter in allmäna gaslagen, , erhålls som väntat , medan om vi sätter in van der Waals gasekvation erhålls

Entalpi

Om vi gör likadant med entalpin, , får vi:

(3)

Återigen känner vi igen den första derivatan som , medan den andra kan uttryckas som

där är den praktiskt och historiskt viktiga Joule-Thomson-koefficienten, vilken definieras som

En sådan expansion vid konstant entalpi uppstår (vilket visas i handledningen till datorlabben) när gas flödar genom en porös plugg (eller helt enkelt en förträngning) utan värmeöverföring till omgivningen, ett experiment som brukar kallas Joule-Thomson-experimentet. Genom att mäta temperaturändringen för ett givet tryckfall erhålls direkt. För en ideal gas är , vilket även innebär att den andra termen i ekv. (3) försvinner.

De flesta verkliga gaser har vid rumstemperatur, d.v.s. temperaturen minskar när gasen passerar förträngningen ( när ). Detta kan användas för att konstruera ett enkelt kylskåp, vars kylsystem förutom förträngningen ("stryparen") bara består av en kompressor som höjer trycket på gasen innan den får passera stryparen igen. Tyvärr får man inte så stor kyleffekt eftersom är ganska liten. Därför används i moderna kylskåp istället ett kylmedium som ändrar fas under sin cirkulering. Närmare bestämt, när den komprimerade gasen avger sin värme utanför kylskåpet kondenseras den till vätska som dock fortfarande har högt tryck. När vätskan passerar stryparen inuti kyldelen får vätskan så lågt tryck att den kokar och därigenom upptar värme från luften i kylskåpet.

Molekylärt kan minskningen i temperatur vid strypningen (Joule-Thomson-effekten) beskrivas som en summa av två effekter. Dels sker en omfördelning av den inre energin när molekylerna hamnar längre ifrån varandra och därför får högre potentiell energi (p.g.a. mindre attraktion) och följaktligen lägre kinetisk energi. Denna effekt märks redan vid expansion in i ett evakuerat kärl (en så kallad Joule-expansion) och storleken bestäms direkt av det inre trycket (se uppgift K11). Dels så utförs ett arbete på omgivningen om produkten ökar (vilket den gör om och närmar sig 1 vid tryckminskning), och detta arbete får den inre energin att minska och orsakar därför en ytterligare temperaturminskning. Som vanligt blir effekten motsatt för gaser vars molekyler i huvudsak repellerar varandra (t.ex. vätgas) eller för vanliga gaser vid hög temperatur. Dessa har , d.v.s. temperaturen ökar när gasen passerar förträngningen. För den som är mer intresserad hänvisas till Wikipedia-sidan om Joule-Thomson-effekten.