Skillnad mellan versioner av "Differentialer för fasta ämnen och vätskor"
Per (Diskussion | bidrag) |
Per (Diskussion | bidrag) (→Entalpi) |
||
| (17 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
== Differentialer == | == Differentialer == | ||
| − | En differential är en infinitesimal | + | En differential är en infinitesimal - oändligt liten - ändring i en |
| − | funktion. Exempelvis, om det för en vanlig endimensionell funktion | + | funktion. Exempelvis, om det för en vanlig endimensionell funktion <math>y=y(x)</math> för ett |
| − | visst | + | visst ''x''-värde gäller att |
:<math> | :<math> | ||
\frac{dy}{dx}=5 | \frac{dy}{dx}=5 | ||
</math> | </math> | ||
| − | kan vi | + | kan vi "dela upp" derivatan: |
:<math> | :<math> | ||
dy = 5\,dx | dy = 5\,dx | ||
</math> | </math> | ||
| − | vilket säger oss att en infinitesimal ändring av | + | vilket säger oss att en infinitesimal ändring av ''x'' ger upphov till |
| − | en fem gånger så stor ändring av | + | en fem gånger så stor ändring av ''y''. Det allmäna uttrycket för |
differentialen blir förstås | differentialen blir förstås | ||
:<math> | :<math> | ||
| − | |||
dy = \frac{dy}{dx}\,dx | dy = \frac{dy}{dx}\,dx | ||
</math> | </math> | ||
Differentialer är användbara för | Differentialer är användbara för | ||
| − | att lösa separabla differentialekvationer. Om t.ex. | + | att lösa separabla differentialekvationer. Om t.ex. ett problem leder |
oss till differentialekvationen | oss till differentialekvationen | ||
:<math> | :<math> | ||
| Rad 35: | Rad 34: | ||
</math> | </math> | ||
| − | Om vi har en funktion av två variabler, | + | |
| − | ändringen i | + | Om vi har en funktion av två variabler, <math>z=z(x,y)</math>, så kommer |
| − | precis som i | + | ändringen i <math>z</math> bero både på ändringen i <math>x</math> och ändringen i <math>y</math>, och |
| − | stor ändringen i | + | precis som i det endimensionella fallet är det derivatorna som talar om hur |
| + | stor ändringen i <math>z</math> blir: | ||
:<math> | :<math> | ||
| − | + | dz =\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y}\,dx + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{x}\,dy\;\;\;\;</math>(1) | |
| − | dz =\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y}\,dx + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{x}\,dy | + | där <math>\displaystyle\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y}</math> är den partiella derivatan av <math>z</math> med avseende |
| − | </math> | + | på <math>x</math>, då <math>y</math> hålls konstant. |
| − | där | + | |
| − | på | ||
Vi ska nu studera några olika storheter, som var och en kan skrivas | Vi ska nu studera några olika storheter, som var och en kan skrivas | ||
som en funktion av två andra storheter, och se vad vi kan lära oss av | som en funktion av två andra storheter, och se vad vi kan lära oss av | ||
| − | differentialuttrycket (ekv. | + | differentialuttrycket (ekv. 1) i de olika fallen. |
== Volym == | == Volym == | ||
För ett system med konstant sammansättning är tillståndsekvationen ett samband mellan | För ett system med konstant sammansättning är tillståndsekvationen ett samband mellan | ||
| − | tre storheter, oftast | + | tre storheter, oftast <math>V</math>, <math>p</math>, och <math>T</math>. Låt oss nu välja att |
skriva volymen som funktion av temperaturen och trycket: | skriva volymen som funktion av temperaturen och trycket: | ||
:<math> | :<math> | ||
V=V(T,p) | V=V(T,p) | ||
</math> | </math> | ||
| − | Enligt ekv. | + | Enligt ekv. (1) kan vi då beräkna en infinitesimal volymändring genom: |
:<math> | :<math> | ||
| − | + | dV=\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}\,dT + \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{T}\,dp\;\;\;\;\;</math> (2) | |
| − | dV=\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}\,dT + \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{T}\,dp | + | |
| − | </math> | ||
De partiella derivatorna i det uttrycket (dividerade med volymen för | De partiella derivatorna i det uttrycket (dividerade med volymen för | ||
att bli intensiva storheter) har fått egna beteckningar: | att bli intensiva storheter) har fått egna beteckningar: | ||
:<math> | :<math> | ||
| − | \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p} = \alpha\;\;\; | + | \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p} = \alpha\;\;\;</math> (utvidgningskoefficient) |
| − | </math> | ||
:<math> | :<math> | ||
| − | - \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{T} = \kappa_{\!_T}\;\;\; | + | - \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{T} = \kappa_{\!_T}\;\;\;</math> (isoterm kompressibilitet) |
| − | |||
| − | Numeriska värden på | + | Numeriska värden på <math>\alpha</math> och <math>\kappa_{\!_T}</math> för några olika ämnen |
finns i tabellsamlingen i kompendiet. Observera att för gaser är det | finns i tabellsamlingen i kompendiet. Observera att för gaser är det | ||
inte så stor idé att ange tabellvärden, dels eftersom de beror på tryck och | inte så stor idé att ange tabellvärden, dels eftersom de beror på tryck och | ||
| − | temperatur, dels eftersom ideal gas-uttrycken (se uppg | + | temperatur, dels eftersom ideal gas-uttrycken (se uppg 10 i kompendiet) stämmer bra överens med verkligheten vid |
| − | kompendiet) stämmer bra överens med verkligheten vid | ||
vanliga tryck och temperaturer. | vanliga tryck och temperaturer. | ||
| Rad 88: | Rad 83: | ||
\int_{V_1}^{V_2}\,\frac{dV}{V}=\int_{T_1}^{T_2}\,\alpha\, dT | \int_{V_1}^{V_2}\,\frac{dV}{V}=\int_{T_1}^{T_2}\,\alpha\, dT | ||
</math> | </math> | ||
| − | Om | + | Om <math>\alpha</math> är en konstant, d.v.s. oberoende av <math>T</math>, ger detta |
:<math> | :<math> | ||
\ln \frac{V_2}{V_1}=\alpha(T_2-T_1) | \ln \frac{V_2}{V_1}=\alpha(T_2-T_1) | ||
| Rad 94: | Rad 89: | ||
vilket är detsamma som | vilket är detsamma som | ||
:<math> | :<math> | ||
| − | V_2=V_1 \ | + | V_2=V_1 \mathrm{e}^{\alpha(T_2-T_1)} |
</math> | </math> | ||
| Rad 100: | Rad 95: | ||
ges volymändringen av | ges volymändringen av | ||
:<math> | :<math> | ||
| − | V_2=V_1 \ | + | V_2=V_1 \mathrm{e}^{-\kappa_{\!_T}(p_2-p_1)} |
</math> | </math> | ||
| − | förutsatt att | + | förutsatt att <math>\kappa_{\!_T}</math> är oberoende av trycket. |
Om både temperaturen och trycket ändras kan vi utnyttja att volymen är | Om både temperaturen och trycket ändras kan vi utnyttja att volymen är | ||
| Rad 113: | Rad 108: | ||
| − | Vi skulle också kunna vara intresserade av hur | + | Vi skulle också kunna vara intresserade av hur <math>p</math> beror på <math>T</math> för |
| − | en vätska eller fast ämne innesluten i en konstant volym. Eftersom | + | en vätska eller fast ämne innesluten i en konstant volym. Eftersom <math>dV=0</math>, så erhålls från ekv. (2): |
:<math> | :<math> | ||
0=\frac{dV}{V}=\alpha dT - \kappa_T dp | 0=\frac{dV}{V}=\alpha dT - \kappa_T dp | ||
| Rad 123: | Rad 118: | ||
\int_{p_1}^{p_2}\,dp =\int_{T_1}^{T_2}\,\frac{\alpha}{\kappa_T}\, dT | \int_{p_1}^{p_2}\,dp =\int_{T_1}^{T_2}\,\frac{\alpha}{\kappa_T}\, dT | ||
</math> | </math> | ||
| − | För att komma vidare behöver vi i princip veta hur | + | För att komma vidare behöver vi i princip veta hur <math>\alpha</math> och |
| − | + | <math>\kappa_T</math> beror på tryck och temperatur, men om vi antar att de är | |
konstanta i det aktuella intervallet, får vi helt enkelt: | konstanta i det aktuella intervallet, får vi helt enkelt: | ||
:<math> | :<math> | ||
| Rad 133: | Rad 128: | ||
Om vi betraktar inre energin som en funktion av temperaturen och | Om vi betraktar inre energin som en funktion av temperaturen och | ||
| − | volymen, | + | volymen, <math>U=U(T,V)</math>, och utvecklar differentialen ''dU'' på samma sätt som |
innan, får vi: | innan, får vi: | ||
:<math> | :<math> | ||
dU=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}\,dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}\,dV | dU=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}\,dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}\,dV | ||
</math> | </math> | ||
| − | Den första derivatan känner vi igen som | + | Den första derivatan känner vi igen som <math>C_V</math>. Den andra kallas för inre |
| − | tryck, | + | tryck, <math>\pi_T</math>, och beror på interaktionerna mellan |
molekylerna. Om attraktiva interaktioner dominerar är | molekylerna. Om attraktiva interaktioner dominerar är | ||
| − | + | <math>\pi_T>0</math>. Om repulsiva interaktioner dominerar är <math>\pi_T<0</math>. För en ideal gas gäller att <math>\pi_T=0</math>, d.v.s. att inre | |
energin bara beror på temperaturen. | energin bara beror på temperaturen. | ||
| Rad 150: | Rad 145: | ||
</math> | </math> | ||
Därigenom kan vi beräkna det inre trycket för en valfri | Därigenom kan vi beräkna det inre trycket för en valfri | ||
| − | tillståndsekvation | + | tillståndsekvation <math>p=p(V,T)</math>. Om vi exempelvis sätter in allmäna |
| − | gaslagen, | + | gaslagen, <math>p=nRT/V</math>, erhålls som väntat <math>\pi_T=0</math>, medan om vi sätter in van der |
Waals gasekvation erhålls | Waals gasekvation erhålls | ||
:<math> | :<math> | ||
| Rad 158: | Rad 153: | ||
== Entalpi == | == Entalpi == | ||
| − | Om vi gör likadant med entalpin, | + | Om vi gör likadant med entalpin, <math>H=H(T,p)</math>, får vi: |
:<math> | :<math> | ||
| − | + | dH=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{p}\,dT + \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{T}\,dp\;\;\;\;\;\;</math> (3) | |
| − | dH=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{p}\,dT + \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{T}\,dp | + | Återigen känner vi igen den första derivatan som <math>C_p</math>, medan den |
| − | </math> | + | andra kan uttryckas som |
| − | Återigen känner vi igen den första derivatan som | ||
| − | andra kan uttryckas som | ||
:<math> | :<math> | ||
\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{T}=-\mu_{JT}\,C_p | \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{T}=-\mu_{JT}\,C_p | ||
</math> | </math> | ||
| − | där | + | där <math>\mu_{JT}</math> är den praktiskt och historiskt viktiga |
| − | Joule | + | Joule-Thomson-koefficienten, vilken definieras som |
:<math> | :<math> | ||
\mu_{JT}= \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{H} | \mu_{JT}= \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{H} | ||
</math> | </math> | ||
| − | En sådan expansion vid konstant entalpi uppstår (vilket visas i | + | En sådan expansion vid konstant entalpi uppstår (vilket visas i handledningen till datorlabben) när gas flödar genom en porös plugg (eller helt enkelt en förträngning) utan värmeöverföring |
| − | |||
till omgivningen, ett experiment som | till omgivningen, ett experiment som | ||
| − | brukar kallas Joule | + | brukar kallas Joule-Thomson-experimentet. Genom att mäta |
| − | temperaturändringen för ett givet tryckfall erhålls | + | temperaturändringen för ett givet tryckfall erhålls <math>\mu_{JT}</math> |
| − | direkt. För en ideal gas är | + | direkt. För en ideal gas är <math>\mu_{JT}=0</math>, vilket även innebär att den |
| − | andra termen i ekv. | + | andra termen i ekv. (3) försvinner. |
| − | De flesta verkliga gaser har | + | De flesta verkliga gaser har <math>\mu_{JT}>0</math> vid rumstemperatur, d.v.s. temperaturen minskar när |
| − | gasen passerar förträngningen. Detta kan användas för att konstruera | + | gasen passerar förträngningen (<math>dT<0</math> när <math>dp<0</math>). Detta kan användas för att konstruera |
| − | ett enkelt kylskåp, vars kylsystem förutom förträngningen ( | + | ett enkelt kylskåp, vars kylsystem förutom förträngningen ("stryparen") bara |
består av en kompressor som höjer trycket på gasen innan den får | består av en kompressor som höjer trycket på gasen innan den får | ||
passera stryparen igen. Tyvärr får man inte så stor kyleffekt eftersom | passera stryparen igen. Tyvärr får man inte så stor kyleffekt eftersom | ||
| − | + | <math>\mu_{JT}</math> är ganska liten. Därför används i moderna kylskåp istället ett kylmedium som | |
ändrar fas under sin cirkulering. Närmare bestämt, när den | ändrar fas under sin cirkulering. Närmare bestämt, när den | ||
komprimerade gasen avger sin värme utanför kylskåpet kondenseras den | komprimerade gasen avger sin värme utanför kylskåpet kondenseras den | ||
| Rad 193: | Rad 185: | ||
inuti kyldelen får vätskan så lågt tryck att den kokar och | inuti kyldelen får vätskan så lågt tryck att den kokar och | ||
därigenom upptar värme från luften i kylskåpet. | därigenom upptar värme från luften i kylskåpet. | ||
| + | |||
| + | Molekylärt kan minskningen i temperatur vid strypningen (Joule-Thomson-effekten) beskrivas som en summa av två effekter. Dels sker en omfördelning av den inre energin när molekylerna hamnar längre ifrån varandra och därför får högre potentiell energi (p.g.a. mindre attraktion) och följaktligen lägre kinetisk energi. Denna effekt märks redan vid expansion in i ett evakuerat kärl (en så kallad Joule-expansion) och storleken bestäms direkt av det inre trycket (se uppgift K11). Dels så utförs ett arbete på omgivningen om produkten <math>pV</math> ökar (vilket den gör om <math>Z<1</math> och närmar sig 1 vid tryckminskning), och detta arbete får den inre energin att minska och orsakar därför en ytterligare temperaturminskning. Som vanligt blir effekten motsatt för gaser vars molekyler i huvudsak repellerar varandra (t.ex. vätgas) eller för vanliga gaser vid hög temperatur. Dessa har <math>\mu_{JT}<0</math>, d.v.s. temperaturen ökar när gasen passerar förträngningen. För den som är mer intresserad hänvisas till Wikipedia-sidan om [https://en.wikipedia.org/wiki/Joule–Thomson_effect Joule-Thomson-effekten]. | ||
Nuvarande version från 13 november 2018 kl. 04.41
Innehåll
Differentialer
En differential är en infinitesimal - oändligt liten - ändring i en funktion. Exempelvis, om det för en vanlig endimensionell funktion Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=y(x)} för ett visst x-värde gäller att
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=5 }
kan vi "dela upp" derivatan:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dy = 5\,dx }
vilket säger oss att en infinitesimal ändring av x ger upphov till en fem gånger så stor ändring av y. Det allmäna uttrycket för differentialen blir förstås
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dy = \frac{dy}{dx}\,dx }
Differentialer är användbara för att lösa separabla differentialekvationer. Om t.ex. ett problem leder oss till differentialekvationen
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=axy }
så kan vi skriva detta som
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{y}=ax\,dx }
och sedan ta fram ett explicit uttryck genom integration:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{y_1}^{y_2} \frac{dy}{y}=\int_{x_1}^{x_2} ax\,dx \;\; \Leftrightarrow \;\; y_2=y_1\exp\left(\frac{a}{2}\left[x_2^2-x_1^2 \right]\right) }
Om vi har en funktion av två variabler, Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=z(x,y)}
, så kommer
ändringen i Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z}
bero både på ändringen i Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x}
och ändringen i Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y}
, och
precis som i det endimensionella fallet är det derivatorna som talar om hur
stor ändringen i Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z}
blir:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dz =\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y}\,dx + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{x}\,dy\;\;\;\;} (1)
där Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \displaystyle\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y}} är den partiella derivatan av Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} med avseende på Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} , då Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} hålls konstant.
Vi ska nu studera några olika storheter, som var och en kan skrivas
som en funktion av två andra storheter, och se vad vi kan lära oss av
differentialuttrycket (ekv. 1) i de olika fallen.
Volym
För ett system med konstant sammansättning är tillståndsekvationen ett samband mellan tre storheter, oftast Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} , Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} , och Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} . Låt oss nu välja att skriva volymen som funktion av temperaturen och trycket:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V=V(T,p) }
Enligt ekv. (1) kan vi då beräkna en infinitesimal volymändring genom:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dV=\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}\,dT + \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{T}\,dp\;\;\;\;\;} (2)
De partiella derivatorna i det uttrycket (dividerade med volymen för att bli intensiva storheter) har fått egna beteckningar:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p} = \alpha\;\;\;} (utvidgningskoefficient)
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle - \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{T} = \kappa_{\!_T}\;\;\;} (isoterm kompressibilitet)
Numeriska värden på Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} och Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \kappa_{\!_T}} för några olika ämnen finns i tabellsamlingen i kompendiet. Observera att för gaser är det inte så stor idé att ange tabellvärden, dels eftersom de beror på tryck och temperatur, dels eftersom ideal gas-uttrycken (se uppg 10 i kompendiet) stämmer bra överens med verkligheten vid vanliga tryck och temperaturer.
Antag nu att vi håller trycket konstant och ändrar temperaturen. Ändringen i volym ges då av
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dV=\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}\,dT = \alpha V\,dT }
vilket kan integreras:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{V_1}^{V_2}\,\frac{dV}{V}=\int_{T_1}^{T_2}\,\alpha\, dT }
Om Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} är en konstant, d.v.s. oberoende av Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} , ger detta
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln \frac{V_2}{V_1}=\alpha(T_2-T_1) }
vilket är detsamma som
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_2=V_1 \mathrm{e}^{\alpha(T_2-T_1)} }
På motsvarande sätt kan man visa att om temperaturen hålls konstant så ges volymändringen av
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_2=V_1 \mathrm{e}^{-\kappa_{\!_T}(p_2-p_1)} }
förutsatt att Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \kappa_{\!_T}} är oberoende av trycket.
Om både temperaturen och trycket ändras kan vi utnyttja att volymen är en tillståndsfunktion. Istället för att följa en väg där temperaturne och trycket ändras samtidigt, kan vi välja att följa en väg där vi först ändrar temperaturen medan vi håller trycket konstant, och sedan ändrar trycket medan vi håller volymen konstant. Vi måste bara komma ihåg att temperaturen och utgångsvolymen för den andra delprocessen är slutvolymen och sluttemperaturen för den första delprocessen.
Vi skulle också kunna vara intresserade av hur Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p}
beror på Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T}
för
en vätska eller fast ämne innesluten i en konstant volym. Eftersom Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dV=0}
, så erhålls från ekv. (2):
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0=\frac{dV}{V}=\alpha dT - \kappa_T dp }
och vi har återigen ett uttryck med bara två differentialer som kan integreras:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{p_1}^{p_2}\,dp =\int_{T_1}^{T_2}\,\frac{\alpha}{\kappa_T}\, dT }
För att komma vidare behöver vi i princip veta hur Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} och Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \kappa_T} beror på tryck och temperatur, men om vi antar att de är konstanta i det aktuella intervallet, får vi helt enkelt:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_2-p_1=\frac{\alpha}{\kappa_T}(T_2-T_1) }
Inre energi
Om vi betraktar inre energin som en funktion av temperaturen och volymen, Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U=U(T,V)} , och utvecklar differentialen dU på samma sätt som innan, får vi:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dU=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}\,dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}\,dV }
Den första derivatan känner vi igen som Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_V} . Den andra kallas för inre tryck, Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_T} , och beror på interaktionerna mellan molekylerna. Om attraktiva interaktioner dominerar är Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_T>0} . Om repulsiva interaktioner dominerar är Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_T<0} . För en ideal gas gäller att Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_T=0} , d.v.s. att inre energin bara beror på temperaturen.
Man kan härleda ett uttryck för det inre trycket som bara beror på tryckets temperaturberoende:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_T=T\,\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{V}\,-\,p }
Därigenom kan vi beräkna det inre trycket för en valfri tillståndsekvation Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=p(V,T)} . Om vi exempelvis sätter in allmäna gaslagen, Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=nRT/V} , erhålls som väntat Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_T=0} , medan om vi sätter in van der Waals gasekvation erhålls
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_T=a\,\frac{n^2}{V^2} }
Entalpi
Om vi gör likadant med entalpin, Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H=H(T,p)} , får vi:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dH=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{p}\,dT + \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{T}\,dp\;\;\;\;\;\;} (3)
Återigen känner vi igen den första derivatan som Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_p} , medan den andra kan uttryckas som
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{T}=-\mu_{JT}\,C_p }
där Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_{JT}} är den praktiskt och historiskt viktiga Joule-Thomson-koefficienten, vilken definieras som
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_{JT}= \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{H} }
En sådan expansion vid konstant entalpi uppstår (vilket visas i handledningen till datorlabben) när gas flödar genom en porös plugg (eller helt enkelt en förträngning) utan värmeöverföring till omgivningen, ett experiment som brukar kallas Joule-Thomson-experimentet. Genom att mäta temperaturändringen för ett givet tryckfall erhålls Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_{JT}} direkt. För en ideal gas är Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_{JT}=0} , vilket även innebär att den andra termen i ekv. (3) försvinner.
De flesta verkliga gaser har Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_{JT}>0} vid rumstemperatur, d.v.s. temperaturen minskar när gasen passerar förträngningen (Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dT<0} när Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dp<0} ). Detta kan användas för att konstruera ett enkelt kylskåp, vars kylsystem förutom förträngningen ("stryparen") bara består av en kompressor som höjer trycket på gasen innan den får passera stryparen igen. Tyvärr får man inte så stor kyleffekt eftersom Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_{JT}} är ganska liten. Därför används i moderna kylskåp istället ett kylmedium som ändrar fas under sin cirkulering. Närmare bestämt, när den komprimerade gasen avger sin värme utanför kylskåpet kondenseras den till vätska som dock fortfarande har högt tryck. När vätskan passerar stryparen inuti kyldelen får vätskan så lågt tryck att den kokar och därigenom upptar värme från luften i kylskåpet.
Molekylärt kan minskningen i temperatur vid strypningen (Joule-Thomson-effekten) beskrivas som en summa av två effekter. Dels sker en omfördelning av den inre energin när molekylerna hamnar längre ifrån varandra och därför får högre potentiell energi (p.g.a. mindre attraktion) och följaktligen lägre kinetisk energi. Denna effekt märks redan vid expansion in i ett evakuerat kärl (en så kallad Joule-expansion) och storleken bestäms direkt av det inre trycket (se uppgift K11). Dels så utförs ett arbete på omgivningen om produkten Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle pV} ökar (vilket den gör om Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z<1} och närmar sig 1 vid tryckminskning), och detta arbete får den inre energin att minska och orsakar därför en ytterligare temperaturminskning. Som vanligt blir effekten motsatt för gaser vars molekyler i huvudsak repellerar varandra (t.ex. vätgas) eller för vanliga gaser vid hög temperatur. Dessa har Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_{JT}<0} , d.v.s. temperaturen ökar när gasen passerar förträngningen. För den som är mer intresserad hänvisas till Wikipedia-sidan om Joule-Thomson-effekten.
