Skillnad mellan versioner av "Differentialer för fasta ämnen och vätskor"

Från KFKA10
Hoppa till: navigering, sök
(Skapade sidan med '\section{Differentialer} En differential är en infinitesimal -- oändligt liten -- ändring i en funktion. Exempelvis, om det för en vanlig endimensionell funktion $y=y(x)$...')
 
(Entalpi)
 
(18 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
\section{Differentialer}
+
== Differentialer ==
  
En differential är en infinitesimal -- oändligt liten -- ändring i en
+
En differential är en infinitesimal - oändligt liten - ändring i en
funktion. Exempelvis, om det för en vanlig endimensionell funktion $y=y(x)$ för ett
+
funktion. Exempelvis, om det för en vanlig endimensionell funktion <math>y=y(x)</math> för ett
visst $x$-värde gäller att
+
visst ''x''-värde gäller att
 
:<math>
 
:<math>
 
\frac{dy}{dx}=5
 
\frac{dy}{dx}=5
 
</math>
 
</math>
kan vi ``dela upp'' derivatan:
+
kan vi "dela upp" derivatan:
 
:<math>
 
:<math>
 
dy = 5\,dx
 
dy = 5\,dx
 
</math>
 
</math>
vilket säger oss att en infinitesimal ändring av $x$ ger upphov till
+
vilket säger oss att en infinitesimal ändring av ''x'' ger upphov till
en fem gånger så stor ändring av $y$. Det allmäna uttrycket för
+
en fem gånger så stor ändring av ''y''. Det allmäna uttrycket för
 
differentialen blir förstås
 
differentialen blir förstås
 
:<math>
 
:<math>
\label{eqTrivial}
 
 
dy = \frac{dy}{dx}\,dx
 
dy = \frac{dy}{dx}\,dx
 
</math>
 
</math>
  
 
Differentialer är användbara för
 
Differentialer är användbara för
att lösa separabla differentialekvationer. Om t.ex.\ ett problem leder
+
att lösa separabla differentialekvationer. Om t.ex. ett problem leder
 
oss till differentialekvationen
 
oss till differentialekvationen
 
:<math>
 
:<math>
Rad 35: Rad 34:
 
</math>
 
</math>
  
Om vi har en funktion av två variabler, $z=z(x,y)$, så kommer
+
 
ändringen i $z$ bero både på ändringen i $x$ och ändringen i $y$, och
+
Om vi har en funktion av två variabler, <math>z=z(x,y)</math>, så kommer
precis som i ekv.~\ref{eqTrivial} är det derivatorna som talar om hur
+
ändringen i <math>z</math> bero både på ändringen i <math>x</math> och ändringen i <math>y</math>, och
stor ändringen i $z$ blir:
+
precis som i det endimensionella fallet är det derivatorna som talar om hur
 +
stor ändringen i <math>z</math> blir:
 
:<math>
 
:<math>
\label{eqDiff}
+
dz =\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y}\,dx + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{x}\,dy\;\;\;\;</math>(1)
dz =\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y}\,dx + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{x}\,dy
+
där <math>\displaystyle\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y}</math> är den partiella derivatan av <math>z</math> med avseende
</math>
+
<math>x</math>, då <math>y</math> hålls konstant.
där $\displaystyle\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y}$ är den partiella derivatan av $z$ med avseende
+
 
$x$, då $y$ hålls konstant.
 
  
 
Vi ska nu studera några olika storheter, som var och en kan skrivas
 
Vi ska nu studera några olika storheter, som var och en kan skrivas
 
som en funktion av två andra storheter, och se vad vi kan lära oss av
 
som en funktion av två andra storheter, och se vad vi kan lära oss av
differentialuttrycket (ekv.~\ref{eqDiff}) i de olika fallen.
+
differentialuttrycket (ekv. 1) i de olika fallen.
  
%\newpage
+
== Volym ==
\section{Volym}
 
  
 
För ett system med konstant sammansättning är tillståndsekvationen ett samband mellan
 
För ett system med konstant sammansättning är tillståndsekvationen ett samband mellan
tre storheter, oftast $V$, $p$, och $T$. Låt oss nu välja att
+
tre storheter, oftast <math>V</math>, <math>p</math>, och <math>T</math>. Låt oss nu välja att
 
skriva volymen som funktion av temperaturen och trycket:
 
skriva volymen som funktion av temperaturen och trycket:
 
:<math>
 
:<math>
 
V=V(T,p)
 
V=V(T,p)
 
</math>
 
</math>
Enligt ekv.~\ref{eqDiff} kan vi då beräkna en infinitesimal volymändring genom:
+
Enligt ekv. (1) kan vi då beräkna en infinitesimal volymändring genom:
 
:<math>
 
:<math>
\label{eqMain}
+
dV=\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}\,dT + \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{T}\,dp\;\;\;\;\;</math> (2)
dV=\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}\,dT + \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{T}\,dp
+
 
</math>
 
 
De partiella derivatorna i det uttrycket (dividerade med volymen för
 
De partiella derivatorna i det uttrycket (dividerade med volymen för
 
att bli intensiva storheter) har fått egna beteckningar:
 
att bli intensiva storheter) har fått egna beteckningar:
 
:<math>
 
:<math>
\frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p} = \alpha\;\;\;\mbox{(utvidgningskoefficient)}
+
\frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p} = \alpha\;\;\;</math> (utvidgningskoefficient)
</math>
 
 
:<math>
 
:<math>
- \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{T} = \kappa_{\!_T}\;\;\;\mbox{(isoterm kompressibilitet)}
+
- \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{T} = \kappa_{\!_T}\;\;\;</math> (isoterm kompressibilitet)
</math>
 
  
Numeriska värden på $\alpha$ och $\kappa_{\!_T}$ för några olika ämnen
+
Numeriska värden på <math>\alpha</math> och <math>\kappa_{\!_T}</math> för några olika ämnen
 
finns i tabellsamlingen i kompendiet. Observera att för gaser är det
 
finns i tabellsamlingen i kompendiet. Observera att för gaser är det
 
inte så stor idé att ange tabellvärden, dels eftersom de beror på tryck och
 
inte så stor idé att ange tabellvärden, dels eftersom de beror på tryck och
temperatur, dels eftersom ideal gas-uttrycken (se uppg 9a i
+
temperatur, dels eftersom ideal gas-uttrycken (se uppg 10 i kompendiet) stämmer bra överens med verkligheten vid
kompendiet) stämmer bra överens med verkligheten vid
 
 
vanliga tryck och temperaturer.
 
vanliga tryck och temperaturer.
  
Rad 89: Rad 83:
 
\int_{V_1}^{V_2}\,\frac{dV}{V}=\int_{T_1}^{T_2}\,\alpha\, dT
 
\int_{V_1}^{V_2}\,\frac{dV}{V}=\int_{T_1}^{T_2}\,\alpha\, dT
 
</math>
 
</math>
Om $\alpha$ är en konstant, d.v.s.\ oberoende av $T$, ger detta  
+
Om <math>\alpha</math> är en konstant, d.v.s. oberoende av <math>T</math>, ger detta  
 
:<math>
 
:<math>
 
\ln \frac{V_2}{V_1}=\alpha(T_2-T_1)
 
\ln \frac{V_2}{V_1}=\alpha(T_2-T_1)
Rad 95: Rad 89:
 
vilket är detsamma som
 
vilket är detsamma som
 
:<math>
 
:<math>
V_2=V_1 \me^{\alpha(T_2-T_1)}
+
V_2=V_1 \mathrm{e}^{\alpha(T_2-T_1)}
 
</math>
 
</math>
  
Rad 101: Rad 95:
 
ges volymändringen av
 
ges volymändringen av
 
:<math>
 
:<math>
V_2=V_1 \me^{-\kappa_{\!_T}(p_2-p_1)}
+
V_2=V_1 \mathrm{e}^{-\kappa_{\!_T}(p_2-p_1)}
 
</math>
 
</math>
förutsatt att $\kappa_{\!_T}$ är oberoende av trycket.
+
förutsatt att <math>\kappa_{\!_T}</math> är oberoende av trycket.
  
 
Om både temperaturen och trycket ändras kan vi utnyttja att volymen är
 
Om både temperaturen och trycket ändras kan vi utnyttja att volymen är
Rad 114: Rad 108:
  
  
Vi skulle också kunna vara intresserade av hur $p$ beror på $T$ för
+
Vi skulle också kunna vara intresserade av hur <math>p</math> beror på <math>T</math> för
en vätska eller fast ämne innesluten i en konstant volym. Eftersom $dV=0$ erhålls från ekv.~\ref{eqMain}:
+
en vätska eller fast ämne innesluten i en konstant volym. Eftersom <math>dV=0</math>, så erhålls från ekv. (2):
 
:<math>
 
:<math>
 
0=\frac{dV}{V}=\alpha dT - \kappa_T dp
 
0=\frac{dV}{V}=\alpha dT - \kappa_T dp
Rad 124: Rad 118:
 
\int_{p_1}^{p_2}\,dp =\int_{T_1}^{T_2}\,\frac{\alpha}{\kappa_T}\, dT
 
\int_{p_1}^{p_2}\,dp =\int_{T_1}^{T_2}\,\frac{\alpha}{\kappa_T}\, dT
 
</math>
 
</math>
För att komma vidare behöver vi i princip veta hur $\alpha$ och
+
För att komma vidare behöver vi i princip veta hur <math>\alpha</math> och
$\kappa_T$ beror på tryck och temperatur, men om vi antar att de är
+
<math>\kappa_T</math> beror på tryck och temperatur, men om vi antar att de är
 
konstanta i det aktuella intervallet, får vi helt enkelt:
 
konstanta i det aktuella intervallet, får vi helt enkelt:
 
:<math>
 
:<math>
Rad 131: Rad 125:
 
</math>
 
</math>
  
\section{Inre energi}
+
== Inre energi ==
  
 
Om vi betraktar inre energin som en funktion av temperaturen och
 
Om vi betraktar inre energin som en funktion av temperaturen och
volymen, $U=U(T,V)$, och utvecklar differentialen dU på samma sätt som
+
volymen, <math>U=U(T,V)</math>, och utvecklar differentialen ''dU'' på samma sätt som
 
innan, får vi:
 
innan, får vi:
 
:<math>
 
:<math>
 
dU=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}\,dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}\,dV
 
dU=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}\,dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}\,dV
 
</math>
 
</math>
Den första derivatan känner vi igen som $C_V$. Den andra kallas för inre
+
Den första derivatan känner vi igen som <math>C_V</math>. Den andra kallas för inre
tryck, $\pi_T$, och beror på interaktionerna mellan
+
tryck, <math>\pi_T</math>, och beror på interaktionerna mellan
 
molekylerna. Om attraktiva interaktioner dominerar är
 
molekylerna. Om attraktiva interaktioner dominerar är
$\pi_T>0$. Om repulsiva interaktioner dominerar är $\pi_T<0$. För en ideal gas gäller att $\pi_T=0$, d.v.s.\ att inre
+
<math>\pi_T>0</math>. Om repulsiva interaktioner dominerar är <math>\pi_T<0</math>. För en ideal gas gäller att <math>\pi_T=0</math>, d.v.s. att inre
 
energin bara beror på temperaturen.  
 
energin bara beror på temperaturen.  
  
Rad 151: Rad 145:
 
</math>
 
</math>
 
Därigenom kan vi beräkna det inre trycket för en valfri
 
Därigenom kan vi beräkna det inre trycket för en valfri
tillståndsekvation $p=p(V,T)$. Om vi exempelvis sätter in allmäna
+
tillståndsekvation <math>p=p(V,T)</math>. Om vi exempelvis sätter in allmäna
gaslagen, $p=nRT/V$, erhålls som väntat $\pi_T=0$, medan om vi sätter in van der
+
gaslagen, <math>p=nRT/V</math>, erhålls som väntat <math>\pi_T=0</math>, medan om vi sätter in van der
 
Waals gasekvation erhålls
 
Waals gasekvation erhålls
 
:<math>
 
:<math>
Rad 158: Rad 152:
 
</math>
 
</math>
  
\section{Entalpi}
+
== Entalpi ==
Om vi gör likadant med entalpin, $H=H(T,p)$, får vi:
+
Om vi gör likadant med entalpin, <math>H=H(T,p)</math>, får vi:
 
:<math>
 
:<math>
\label{eqEntalpi}
+
dH=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{p}\,dT + \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{T}\,dp\;\;\;\;\;\;</math> (3)
dH=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{p}\,dT + \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{T}\,dp
+
Återigen känner vi igen den första derivatan som <math>C_p</math>, medan den
</math>
+
andra kan uttryckas som  
Återigen känner vi igen den första derivatan som $C_p$, medan den
 
andra kan uttryckas som \footnote{Härled gärna detta genom att ansätta dH=0}
 
 
:<math>
 
:<math>
 
\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{T}=-\mu_{JT}\,C_p
 
\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{T}=-\mu_{JT}\,C_p
 
</math>
 
</math>
där $\mu_{JT}$ är den praktiskt och historiskt viktiga
+
där <math>\mu_{JT}</math> är den praktiskt och historiskt viktiga
Joule--Thomson-koefficienten, vilken definieras som
+
Joule-Thomson-koefficienten, vilken definieras som
 
:<math>
 
:<math>
 
\mu_{JT}= \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{H}
 
\mu_{JT}= \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{H}
 
</math>
 
</math>
  
En sådan expansion vid konstant entalpi uppstår (vilket visas i kap.\ 8.4
+
En sådan expansion vid konstant entalpi uppstår (vilket visas i handledningen till datorlabben) när gas flödar genom en porös plugg (eller helt enkelt en förträngning) utan värmeöverföring
i Smith) när gas flödar genom en porös plugg (eller helt enkelt en förträngning) utan värmeöverföring
 
 
till omgivningen, ett experiment som
 
till omgivningen, ett experiment som
brukar kallas Joule--Thomson-experimentet. Genom att mäta
+
brukar kallas Joule-Thomson-experimentet. Genom att mäta
temperaturändringen för ett givet tryckfall erhålls $\mu_{JT}$
+
temperaturändringen för ett givet tryckfall erhålls <math>\mu_{JT}</math>
direkt. För en ideal gas är $\mu_{JT}=0$, vilket även innebär att den
+
direkt. För en ideal gas är <math>\mu_{JT}=0</math>, vilket även innebär att den
andra termen i ekv.~\ref{eqEntalpi} försvinner.
+
andra termen i ekv. (3) försvinner.
  
De flesta verkliga gaser har $\mu_{JT}<0$, d.v.s.\ temperaturen minskar när
+
De flesta verkliga gaser har <math>\mu_{JT}>0</math> vid rumstemperatur, d.v.s. temperaturen minskar när
gasen passerar förträngningen. Detta kan användas för att konstruera
+
gasen passerar förträngningen (<math>dT<0</math> när <math>dp<0</math>). Detta kan användas för att konstruera
ett enkelt kylskåp, vars kylsystem förutom förträngningen (``stryparen'') bara
+
ett enkelt kylskåp, vars kylsystem förutom förträngningen ("stryparen") bara
 
består av en kompressor som höjer trycket på gasen innan den får
 
består av en kompressor som höjer trycket på gasen innan den får
 
passera stryparen igen. Tyvärr får man inte så stor kyleffekt eftersom
 
passera stryparen igen. Tyvärr får man inte så stor kyleffekt eftersom
$\mu_{JT}$ är ganska liten. Därför används i moderna kylskåp istället ett kylmedium som
+
<math>\mu_{JT}</math> är ganska liten. Därför används i moderna kylskåp istället ett kylmedium som
 
ändrar fas under sin cirkulering. Närmare bestämt, när den
 
ändrar fas under sin cirkulering. Närmare bestämt, när den
 
komprimerade gasen avger sin värme utanför kylskåpet kondenseras den
 
komprimerade gasen avger sin värme utanför kylskåpet kondenseras den
Rad 194: Rad 185:
 
inuti kyldelen får vätskan så lågt tryck att den kokar och
 
inuti kyldelen får vätskan så lågt tryck att den kokar och
 
därigenom upptar värme från luften i kylskåpet.
 
därigenom upptar värme från luften i kylskåpet.
 +
 +
Molekylärt kan minskningen i temperatur vid strypningen (Joule-Thomson-effekten) beskrivas som en summa av två effekter. Dels sker en omfördelning av den inre energin när molekylerna hamnar längre ifrån varandra och därför får högre potentiell energi (p.g.a. mindre attraktion) och följaktligen lägre kinetisk energi. Denna effekt märks redan vid expansion in i ett evakuerat kärl (en så kallad Joule-expansion) och storleken bestäms direkt av det inre trycket (se uppgift K11). Dels så utförs ett arbete på omgivningen om produkten <math>pV</math> ökar (vilket den gör om <math>Z<1</math> och närmar sig 1 vid tryckminskning), och detta arbete får den inre energin att minska och orsakar därför en ytterligare temperaturminskning. Som vanligt blir effekten motsatt för gaser vars molekyler i huvudsak repellerar varandra (t.ex. vätgas) eller för vanliga gaser vid hög temperatur. Dessa har <math>\mu_{JT}<0</math>, d.v.s. temperaturen ökar när gasen passerar förträngningen. För den som är mer intresserad hänvisas till Wikipedia-sidan om [https://en.wikipedia.org/wiki/Joule–Thomson_effect Joule-Thomson-effekten].

Nuvarande version från 13 november 2018 kl. 04.41

Differentialer

En differential är en infinitesimal - oändligt liten - ändring i en funktion. Exempelvis, om det för en vanlig endimensionell funktion Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=y(x)} för ett visst x-värde gäller att

Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=5 }

kan vi "dela upp" derivatan:

Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dy = 5\,dx }

vilket säger oss att en infinitesimal ändring av x ger upphov till en fem gånger så stor ändring av y. Det allmäna uttrycket för differentialen blir förstås

Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dy = \frac{dy}{dx}\,dx }

Differentialer är användbara för att lösa separabla differentialekvationer. Om t.ex. ett problem leder oss till differentialekvationen

Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=axy }

så kan vi skriva detta som

Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{y}=ax\,dx }

och sedan ta fram ett explicit uttryck genom integration:

Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{y_1}^{y_2} \frac{dy}{y}=\int_{x_1}^{x_2} ax\,dx \;\; \Leftrightarrow \;\; y_2=y_1\exp\left(\frac{a}{2}\left[x_2^2-x_1^2 \right]\right) }


Om vi har en funktion av två variabler, Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=z(x,y)} , så kommer ändringen i Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} bero både på ändringen i Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} och ändringen i Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} , och precis som i det endimensionella fallet är det derivatorna som talar om hur stor ändringen i Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} blir:

Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dz =\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y}\,dx + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{x}\,dy\;\;\;\;} (1)

där Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \displaystyle\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y}} är den partiella derivatan av Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} med avseende på Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} , då Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} hålls konstant.


Vi ska nu studera några olika storheter, som var och en kan skrivas som en funktion av två andra storheter, och se vad vi kan lära oss av differentialuttrycket (ekv. 1) i de olika fallen.

Volym

För ett system med konstant sammansättning är tillståndsekvationen ett samband mellan tre storheter, oftast Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} , Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} , och Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} . Låt oss nu välja att skriva volymen som funktion av temperaturen och trycket:

Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V=V(T,p) }

Enligt ekv. (1) kan vi då beräkna en infinitesimal volymändring genom:

Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dV=\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}\,dT + \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{T}\,dp\;\;\;\;\;} (2)

De partiella derivatorna i det uttrycket (dividerade med volymen för att bli intensiva storheter) har fått egna beteckningar:

Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p} = \alpha\;\;\;} (utvidgningskoefficient)
Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle - \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{T} = \kappa_{\!_T}\;\;\;} (isoterm kompressibilitet)

Numeriska värden på Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} och Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \kappa_{\!_T}} för några olika ämnen finns i tabellsamlingen i kompendiet. Observera att för gaser är det inte så stor idé att ange tabellvärden, dels eftersom de beror på tryck och temperatur, dels eftersom ideal gas-uttrycken (se uppg 10 i kompendiet) stämmer bra överens med verkligheten vid vanliga tryck och temperaturer.

Antag nu att vi håller trycket konstant och ändrar temperaturen. Ändringen i volym ges då av

Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dV=\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}\,dT = \alpha V\,dT }

vilket kan integreras:

Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{V_1}^{V_2}\,\frac{dV}{V}=\int_{T_1}^{T_2}\,\alpha\, dT }

Om Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} är en konstant, d.v.s. oberoende av Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} , ger detta

Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln \frac{V_2}{V_1}=\alpha(T_2-T_1) }

vilket är detsamma som

Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_2=V_1 \mathrm{e}^{\alpha(T_2-T_1)} }

På motsvarande sätt kan man visa att om temperaturen hålls konstant så ges volymändringen av

Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_2=V_1 \mathrm{e}^{-\kappa_{\!_T}(p_2-p_1)} }

förutsatt att Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \kappa_{\!_T}} är oberoende av trycket.

Om både temperaturen och trycket ändras kan vi utnyttja att volymen är en tillståndsfunktion. Istället för att följa en väg där temperaturne och trycket ändras samtidigt, kan vi välja att följa en väg där vi först ändrar temperaturen medan vi håller trycket konstant, och sedan ändrar trycket medan vi håller volymen konstant. Vi måste bara komma ihåg att temperaturen och utgångsvolymen för den andra delprocessen är slutvolymen och sluttemperaturen för den första delprocessen.


Vi skulle också kunna vara intresserade av hur Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} beror på Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} för en vätska eller fast ämne innesluten i en konstant volym. Eftersom Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dV=0} , så erhålls från ekv. (2):

Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0=\frac{dV}{V}=\alpha dT - \kappa_T dp }

och vi har återigen ett uttryck med bara två differentialer som kan integreras:

Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{p_1}^{p_2}\,dp =\int_{T_1}^{T_2}\,\frac{\alpha}{\kappa_T}\, dT }

För att komma vidare behöver vi i princip veta hur Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} och Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \kappa_T} beror på tryck och temperatur, men om vi antar att de är konstanta i det aktuella intervallet, får vi helt enkelt:

Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_2-p_1=\frac{\alpha}{\kappa_T}(T_2-T_1) }

Inre energi

Om vi betraktar inre energin som en funktion av temperaturen och volymen, Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U=U(T,V)} , och utvecklar differentialen dU på samma sätt som innan, får vi:

Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dU=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}\,dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}\,dV }

Den första derivatan känner vi igen som Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_V} . Den andra kallas för inre tryck, Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_T} , och beror på interaktionerna mellan molekylerna. Om attraktiva interaktioner dominerar är Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_T>0} . Om repulsiva interaktioner dominerar är Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_T<0} . För en ideal gas gäller att Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_T=0} , d.v.s. att inre energin bara beror på temperaturen.

Man kan härleda ett uttryck för det inre trycket som bara beror på tryckets temperaturberoende:

Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_T=T\,\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{V}\,-\,p }

Därigenom kan vi beräkna det inre trycket för en valfri tillståndsekvation Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=p(V,T)} . Om vi exempelvis sätter in allmäna gaslagen, Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=nRT/V} , erhålls som väntat Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_T=0} , medan om vi sätter in van der Waals gasekvation erhålls

Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_T=a\,\frac{n^2}{V^2} }

Entalpi

Om vi gör likadant med entalpin, Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H=H(T,p)} , får vi:

Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dH=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{p}\,dT + \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{T}\,dp\;\;\;\;\;\;} (3)

Återigen känner vi igen den första derivatan som Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_p} , medan den andra kan uttryckas som

Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{T}=-\mu_{JT}\,C_p }

där Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_{JT}} är den praktiskt och historiskt viktiga Joule-Thomson-koefficienten, vilken definieras som

Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_{JT}= \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{H} }

En sådan expansion vid konstant entalpi uppstår (vilket visas i handledningen till datorlabben) när gas flödar genom en porös plugg (eller helt enkelt en förträngning) utan värmeöverföring till omgivningen, ett experiment som brukar kallas Joule-Thomson-experimentet. Genom att mäta temperaturändringen för ett givet tryckfall erhålls Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_{JT}} direkt. För en ideal gas är Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_{JT}=0} , vilket även innebär att den andra termen i ekv. (3) försvinner.

De flesta verkliga gaser har Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_{JT}>0} vid rumstemperatur, d.v.s. temperaturen minskar när gasen passerar förträngningen (Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dT<0} när Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dp<0} ). Detta kan användas för att konstruera ett enkelt kylskåp, vars kylsystem förutom förträngningen ("stryparen") bara består av en kompressor som höjer trycket på gasen innan den får passera stryparen igen. Tyvärr får man inte så stor kyleffekt eftersom Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_{JT}} är ganska liten. Därför används i moderna kylskåp istället ett kylmedium som ändrar fas under sin cirkulering. Närmare bestämt, när den komprimerade gasen avger sin värme utanför kylskåpet kondenseras den till vätska som dock fortfarande har högt tryck. När vätskan passerar stryparen inuti kyldelen får vätskan så lågt tryck att den kokar och därigenom upptar värme från luften i kylskåpet.

Molekylärt kan minskningen i temperatur vid strypningen (Joule-Thomson-effekten) beskrivas som en summa av två effekter. Dels sker en omfördelning av den inre energin när molekylerna hamnar längre ifrån varandra och därför får högre potentiell energi (p.g.a. mindre attraktion) och följaktligen lägre kinetisk energi. Denna effekt märks redan vid expansion in i ett evakuerat kärl (en så kallad Joule-expansion) och storleken bestäms direkt av det inre trycket (se uppgift K11). Dels så utförs ett arbete på omgivningen om produkten Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle pV} ökar (vilket den gör om Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z<1} och närmar sig 1 vid tryckminskning), och detta arbete får den inre energin att minska och orsakar därför en ytterligare temperaturminskning. Som vanligt blir effekten motsatt för gaser vars molekyler i huvudsak repellerar varandra (t.ex. vätgas) eller för vanliga gaser vid hög temperatur. Dessa har Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_{JT}<0} , d.v.s. temperaturen ökar när gasen passerar förträngningen. För den som är mer intresserad hänvisas till Wikipedia-sidan om Joule-Thomson-effekten.