Skillnad mellan versioner av "Ideal lösning"
Per (Diskussion | bidrag) (→Raoults lag) |
Per (Diskussion | bidrag) |
||
| Rad 86: | Rad 86: | ||
| − | == | + | == Fasdiagram (tryck mot sammansättning) == |
| + | |||
| + | Antag att vi har en ideal lösning med två komponenter A och B. Vi ska plotta två olika kurvor i ett diagram med molbråk av A på x-axeln och tryck på y-axeln. Den ena kurvan är det totala ångtrycket för en blandning med molbråket <math>x_A</math> i vätskan. Detta tryck ges direkt av Raoults lag: | ||
| + | |||
| + | :<math>p_{tot}=p_A+p_B=x_A\,p_A^* + (1-x_A)\,p_B^*</math> | ||
| + | |||
| + | där vi utnyttjat att <math>x_A+x_B=1</math>. Denna kurva är en rät linje som går mellan ångtrycken <math>p_B^*</math> (vid <math>x_A=0</math>) och <math>p_A^*</math> (vid <math>x_A=1</math>). | ||
| + | |||
| + | Den andra kurvan är det totala ångtrycket som ger ett givet molbråk <math>y_A</math i ''ångan''. | ||
Versionen från 17 november 2017 kl. 12.21
Vi har tidigare sett att tryckberoendet hos den kemiska potentialen för en ideal gas har utseendet:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu(p)=\mu^\circ + RT\ln\frac{p}{p^\circ}}
där Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu^0} är den kemiska potentialen för gasen vid standardtrycket Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p^0=1} bar. Eftersom molekylerna i en blandning av ideala gaser inte växelverkar med varandra överhuvudtaget kommer det nog inte som någon överraskning att vi kan tillämpa ovanstående ekvation även på en gasblandning, om vi byter ut trycket mot partialtrycket:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_A(p_A)=\mu_A^\circ + RT\ln\frac{p_A}{p^\circ}}
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_B(p_B)=\mu_B^\circ + RT\ln\frac{p_B}{p^\circ}}
- etc.
Utseendet på dessa ekvationer stämmer väl överens med den intuitiva slutsatsen vi drog när vi resonerade om kemisk potential när det gällde diffusion och kemiska reaktioner, nämligen att den kemiska potentialen har en del som framför allt beror på molekylens stabilitet, och en del som beror på någon slags effektiv koncentration, i det här fallet partialtrycket. Faktum är att den kemiska potentialen alltid har detta utseende och kan formuleras som
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_i=\mu_i^\circ + RT\ln a_i}
där Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_i} är aktiviteten för ämne i. Aktiviteten är en slags effektiv koncentration som kan sägas definieras av den ekvationen. För en del system, som t.ex. ideal gas, blev aktiviteten ett särskilt enkelt uttryck, Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_i=p_i/p^\circ} . Vi ska nu titta närmare på det enklaste sådana exemplet när det gäller vätskeblandningar.
Innehåll
Ideal lösning
Vi definierar en ideal lösning som en vätskeblandning där den kemiska potentialen för varje komponent (ämne) uppfyller följande ekvation:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_i\,=\,\mu_i^\circ + RT\ln x_i\;\;\;\;\;} (1)
där Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_i} är molbråket för komponenten i vätskeblandningen som, om vi har två komponenter A och B, ges av:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_A=\frac{n_A}{n_A+n_B}}
Med andra ord kan vi säga att för en ideal lösning så är aktiviteten för varje komponent lika med dess molbråk. Vi ska strax se att detta är nästan ekvivalent med att lösningen uppfyller det empiriska sambandet Raoults lag. För att en lösning ska vara (nära) ideal krävs normalt att de ingående ämnena har snarlika egenskaper och till och med att molekylerna är lika varandra. Vi ska senare behandla lösningar där bara den ena komponenten beter sig idealt (uppfyller ekvationen ovan) och vi ska även titta på avvikelser från idealitet.
Raoults lag
Vi frågar oss nu vad partialtrycket Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_A} blir ovanför en ideal lösning vid en given temperatur T när det råder jämvikt mellan vätskefas och gasfas. För att svara på detta definierar vi Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_A^*} som partialtrycket över den rena vätskan A, vilket är detsamma som ångtrycket för vätskan vid temperaturen T eftersom vi även här förutsätter jämvikt. Om vi nu antar att A i gasfas uppför sig som en ideal gas, vet vi från början av det här kapitlet att den kemiska potentialen för A i gasfas beskrivs av:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_A(g)=\mu_A^\circ(g) + RT\ln\frac{p_A}{p^\circ}}
När fasjämvikt råder så måste, för varje komponent, den kemiska potentialen i lösningen vara lika med den kemiska potentialen i gasfas där partialtrycket är Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_A} , alltså:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_A(soln)=\mu_A^\circ(g) + RT\ln\frac{p_A}{p^\circ}\;\;\;\;\;\;} (2)
Motsvarande gäller förstås för den rena vätskan A, vars ångtryck är Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_A^*} :
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_A(l)=\mu_A^\circ(g) + RT\ln\frac{p_A^*}{p^\circ}}
Men nu vet vi att lösningen är ideal, och därmed gäller
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_A(soln)=\mu_A(l)+RT\ln x_A = \mu_A^\circ(g) + RT\ln\frac{p_A^*}{p^\circ} +RT\ln x_A = \mu_A^\circ(g) + RT\ln\frac{x_A p_A^*}{p^\circ}}
Jämförelse med ekvation (2) ger att
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_A = x_A p_A^*}
vilket är Raoults lag. Observera att Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_A} är molbråket i lösningen, inte i ångan. Vi ser alltså att en egenskap hos lösningen ger upphov till ett samband mellan partialtrycken för ångan som står i jämvikt med lösningen respektive det rena ämnet.
Blandningsentropi
Vi ska nu undersöka hur Gibbs energi ändras när två komponenter blandas till en ideal lösning under konstant tryck och temperatur. I praktiken är det lättast att tänka sig detta som att vi har placerat de två rena ämnena i en behållare på varsin sida om en rörlig skiljevägg och försäkrat oss om att samma tryck och temperatur råder i hela behållaren. Den blandningsprocess vi tittar på är det som inträffar när sedan skiljeväggen tas bort.
Först behöver vi ett uttryck för Gibbs energi för det totala systemet efter att skiljeväggen tagits bort. Eftersom vi skulle kunna bygga upp systemet genom att addera lite i taget av en vätska med konstant proportion gäller:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{efter}=\sum_i n_i\,\mu_i}
Gibbs energi för systemet före dess att skiljeväggen tas bort får vi genom att bara addera Gibbs energi för delsystemen som består av rena ämnen i motsvarande mängd:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{innan}=\sum_i n_i \, \mu_i^\circ }
Låt oss nu räkna ut skillnaden i Gibbs energi för blandningsprocessen för en total mängd Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_{tot}} av lösningen:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta_{mix} G=G_{efter}-G_{innan}=\sum_i n_i\,\mu_i-\sum_i n_i\,\mu_i^\circ=\sum_i n_i\,\left(\mu_i-\mu_i^\circ\right)=n_{tot}\sum_i x_i\,\left(\mu_i-\mu_i^\circ\right)}
Insättning av definitionen (1) av ideal lösning ger:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta_{mix} G = n_{tot}RT\sum_i x_i\,\ln x_i}
Notera att Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta_{mix} G} blir negativ eftersom Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln x_i<0} då Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_i<1} . Blandningen är alltså alltid en spontan process. Drivkraften för processen kommer helt från entropiändringen:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta_{mix} S = -\left(\frac{\partial \Delta_{mix} G}{\partial T}\right)_p = -n_{tot}R\sum_i x_i\,\ln x_i}
vilket alltså är ett positivt tal. Denna entropiändring kallas den ideala blandningsentropin och svarar mot fullständigt slumpmässigt blandande av komponenterna när molekylerna från samtliga komponenter interagerar med varandra på ett identiskt sätt. Det är lätt att se från föregående två ekvationer att
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta_{mix} H = \Delta_{mix} G + T \Delta_{mix} S = 0}
så det sker inget värmeutbyte med omgivningen under processen. Även V och U är konstanta under processen.
Eftersom blandningar av ideala gaser kan ses som ideala lösningar så gäller alla dessa uttryck även för gasblandningar.
Fasdiagram (tryck mot sammansättning)
Antag att vi har en ideal lösning med två komponenter A och B. Vi ska plotta två olika kurvor i ett diagram med molbråk av A på x-axeln och tryck på y-axeln. Den ena kurvan är det totala ångtrycket för en blandning med molbråket Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_A} i vätskan. Detta tryck ges direkt av Raoults lag:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_{tot}=p_A+p_B=x_A\,p_A^* + (1-x_A)\,p_B^*}
där vi utnyttjat att Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_A+x_B=1} . Denna kurva är en rät linje som går mellan ångtrycken Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_B^*} (vid Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_A=0} ) och Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_A^*} (vid Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_A=1} ).
Den andra kurvan är det totala ångtrycket som ger ett givet molbråk <math>y_A</math i ångan.
