Termodynamik med differentialer
Energi, arbete och värme
CP S. 243-267
Boken undviker att använda differentialer, med undantag för härledningen av arbetet i isoterm expansion på sidan 248. För att kunna lösa problemen på denna kurs behövs dock differentialer i fler sammanhang, och vi ger därför här mer generella versioner av bokens ekvationer, samt ger exempel på hur de används.
Innehåll
Första huvudsatsen
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dU = dq + dw}
där dq är en infinitesimal tillförsel av värme, dw är en infinitesimal tillförsel av arbete och dU är en infinitesimal ändring av inre energin.
Om vi är intresserade av en process som går från ett tillstånd A till ett annat tillstånd B så integrerar vi längs en väg L:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{L} dU = U_B - U_A = \Delta U}
Det första steget kan vi endast göra eftersom U är en tillståndsfunktion (state function, se s. 257). Vi ser att om vi följer en annan väg från A till B så kommer resultatet bli detsamma. Om vi istället integrerar endast värmen eller arbetet får vi:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{L} dq = q }
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{L} dw = w}
där q är den totala tillförda värmen och w är det totala tillförda arbetet för den specifika vägen AB som vi väljer att följa. Vi kan alltså inte tala om värmen för ett visst tillstånd eller skillnaden i värme mellan två tillstånd, utan q och w hör alltid ihop med en process.
Det är nu lätt att se att bokens version av första huvudsatsen följer av att integrera vår definition.
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta U = \int_L dU = \int_L (dq + dw) = \int_L dq + \int_L dw = q + w }
Användning av differentialer
Vi fortsätter att definiera infinitesimala versioner av våra välkända uttryck för arbete och värme:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dw = -p_{ex} dV\;\; } (tryck-volymsarbete)
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dq = C dT\;\; } (värmning utan kemiska eller fysiska reaktioner. OBS! Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} beror på hur värmen tillförs)
Exempel på hur den första används finns som sagt i boken (s. 248). Vi ger ett motsvarande exempel hur den andra kan användas.
Exempel: Antag att den molära värmekapaciteten vid konstant tryck för ett visst ämne kan approximeras med
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_{p,m} (T) = a + b\cdot T}
där a och b är konstanter. Beräkna hur mycket värme som behöver tillföras för att höja temperaturen på Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} mol av ämnet från Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_1} till Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_2} vid konstant tryck.
Lösning:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q = \int dq = \int_{T_1}^{T_2} C_p dT = \int_{T_1}^{T_2} n C_{p,m} dT = \int_{T_1}^{T_2} n (a + b\cdot T) dT = \left[ n a T + n b \frac{T^2}{2} \right]_{T_1}^{T_2} = n a (T_2-T_1) + \frac{nb}{2}\cdot (T_2^2-T_1^2)}
Entalpi
Observera att definitionen av entalpi inte innehåller några differentialer eller ändringar över huvud taget:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H = U + pV}
Däremot vill vi ofta uttrycka detta samband i differentialform, och vi kan då använda multiplikationsregeln d(xy) = xdy + ydx (jfr produktregeln för derivator)
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dH = dU + d(pV) = dU + pdV + Vdp}
Men denna multiplikationsregel får inte användas för större ändringar: Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta (pV)} är inte alltid lika med Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\Delta V + V\Delta p} . Om man är osäker kan man alltid skriva ut vad Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta} -uttrycket egentligen betyder, det är alltid skillnaden mellan två väldefinierade tillstånd:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta (pV) = p_2 \cdot V_2 - p_1 \cdot V_1}
vilket ibland kan förenklas:
- Om Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_1=V_2=V} så gäller att: Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta(pV) = (p_2-p_1)\cdot V = V \Delta P}
- Om Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_1=p_2=p} så gäller att: Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta(pV) = p \cdot (V_2-V_1) = p \Delta V}
Observera att det inte alltid är bäst att använda multiplikationsregeln. Om vi exempelvis har en ideal gas kan det vara bättre att ersätta produkten pV direkt med nRT. Se t.ex. s 275.
Värmekapacitet
Historiskt har värmekapacitet använts för att beskriva uppvärmning under vissa betingelser, men det vore besvärligt om de bara kunde användas för detta ändamål. Lyckligtvis finns det mer generella definitioner, som fungerar oavsett vilket arbete som sker samtidigt. Dessa ges "icke-matematiskt" i avsnitt 4C.2, men blir inte tillräckligt precisa för att användas generellt. De korrekta definitionerna är istället partiella derivator:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V}
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_p = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_p}
Rent matematiskt (se sektion X) leder dessa definitioner till uttryck för små ändringar i inre energin respektive entalpin:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dU = C_V\, dT \,+\, \pi_T\, dV}
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dH = C_p\, dT \,-\, C_p\, \mu_{JT}\, dp\;\;\;\;\;} (#)
där vi infört beteckningarna Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_T=\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T} och Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_{JT}=\ \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_T \bigg/ C_p = \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_H} .
För en ideal gas kan vi gå ännu längre och säga att den andra termen i båda dessa uttryck försvinner, eftersom både inre trycket Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_T=0} och Joule-Thomson-koefficienten Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_{JT}=0} för en ideal gas. Observera att denna förenkling absolut inte gäller för exempelvis vätskor. Däremot är ekvationerna (#) generellt användbara, förutsatt att den andra termen i vardera ekvationen finns med.
Låt oss nu visa att de korrekta definitionerna ger det förväntade resultatet vid uppvärmning.
Antag först konstant volym:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dU = C_V\, dT \,+\, \pi_T\, dV \,=\, C_V\, dT} eftersom Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dV=0}
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dU = dq + dw = dq - p_{ex}\, dV = dq} eftersom Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dV = 0}
Kombination av dessa ger:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dq = C_V dT} vid konstant volym
Antag nu konstant tryck (p) som är lika stort som trycket utanför systemet:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dH = C_p\, dT \,-\, C_p\, \mu_{JT}\, dp = C_p\, dT} eftersom Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dp=0}
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dH = dU + p\,dV + V\,dp = dU + p\,dV} eftersom Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dp = 0}
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dU = dq + dw = dq - p_{ex}\, dV = dq - p\,dV} eftersom Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p = p_{ex}}
Kombination av dessa ger:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dq = dU + pdV = dH = C_p\, dT} vid konstant tryck
Adiabatisk expansion
Den stora fördelen med dessa definitioner av värmekapacitet är att vi kan lösa mer generella problem där både volym och tryck ändras. Som viktigt exempel ska vi titta på adiabatisk expansion av ideal gas.
Att en process är adiabatisk (eller att ett system har en adiabatisk gräns, eller att systemet är termiskt isolerat) betyder att
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dq=0}
Insättning i första huvudsatsen ger
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dU=dw=-p_{ex} dV }
Men nu vet vi att för en viss mängd ideal gas beror inre energin bara på temperaturen. Som beskrevs i avsnittet om värmekapacitet ovan kan detta också uttryckas som att inre trycket Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_T=0} . Alltså gäller för en ideal gas:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dU=C_V\,dT}
oavsett om volymen ändras eller inte. Om vi kombinerar de två uttrycken för dU får vi:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_V\,dT=-p_{ex} dV\;\;\;\;} (*)
vilket är ett mycket användbart samband mellan temperatur- och volymsändring. Vi kan redan ur detta differentialuttryck få en kvalitativ bild av vad som händer i en adiabatisk process: Om volymen ökar måste temperaturen minska och vice versa (dV och dT måste ha olika tecken eftersom Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_V} och Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_{ex}} är positiva storheter).
För att komma vidare måste vi veta något mer om det externa trycket Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_{ex}} . I synnerhet ska vi titta på två olika sätt att utföra den adiabatiska expansionen.
Reversibel adiabatisk expansion
För att processen ska bli reversibel ska vi ha (nästan) samma tryck utanför som inuti systemet, eller med andra ord, vi ska "hålla emot" precis lagom mycket för att (nästan) tryckjämvikt ska råda hela tiden. Detta är helt analogt med reversibel isoterm expansion som beskrivs på s. 248 i CP. Vi sätter alltså
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_{ex}=p=\frac{nRT}{V}}
eftersom det är en ideal gas vi har. Insättning i (*) ovan ger differentialekvationen
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_V\,dT\,=\, -\frac{nRT}{V}\,dV}
För att kunna lösa denna analytiskt måste vi göra ytterligare ett antagande, nämnligen att Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_V} är konstant. Det är oftast ett rimligt antagande för vanliga temperaturer. Om vi gör det antagandet kan vi separera ekvationen så att alla T finns på ena sidan likhetstecknet och alla V finns på andra sidan:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{C_V}{T}\,dT\,=\, -\frac{nR}{V}\,dV}
Nu kan vi integrera båda sidorna av ekvationen från starttillståndet Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (T_1, V_1)} till sluttillståndet Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (T_2, V_2)} :
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{T_1}^{T_2} \frac{C_V}{T}\,dT\,=\, -\int_{V_1}^{V_2}\frac{nR}{V}\,dV}
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_V\ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) \,= \,-nR\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{T_2}{T_1} \,= \, \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{nR/C_V} \,=\, \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{R/C_{V,m}}\;\;\;\;} (1)
Vi har alltså fått ett explicit uttryck för hur Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_2} beror på Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_2} . Om antingen slutvolymen eller sluttemperaturen är given i förutsättningarna, så är vi alltså färdiga. Om istället det var sluttrycket som var givet, så behöver vi fortsätta ett steg till. Då kan vi ju använda allmäna gaslagen med det givna sluttrycket för att teckna ytterligare ett samband mellan Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_2} och Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_2} . Om vi exempelvis antar att vi känner kvoten Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_2/p_1} så kan vi använda allmäna gaslagen två gånger med identiskt n och få:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{p_2}{p_1}=\frac{T_2\,V_1}{T_1\,V_2}\;\;\;\;} (2)
Sedan kan vi kombinera (1) och (2) för att ta fram ett explicit värde på Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_2} .
Irreversibel adiabatisk expansion mot konstant tryck
Nu antar vi istället att Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_{ex}} är konstant och känt. Ekvation (*) kan då integreras direkt:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{T_1}^{T_2} C_V\,dT\,=\,-\int_{V_1}^{V_2} p_{ex}\, dV}
Om vi återigen antar att Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_V} är konstant så får vi:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_V\cdot \left(T_2-T_1\right) = -p_{ex} \cdot \left(V_2-V_1\right)}
Vi har alltså fått ett explicit uttryck för hur Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_2} beror på Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_2} . Precis som i föregående fallet så är vi alltså färdiga om antingen slutvolymen eller sluttemperaturen är given i förutsättningarna. Om istället det var sluttrycket som var givet, kan vi använda ekvation (2) för att komma vidare.
Slutligen kan ändringen i inre energi, vilken är identisk med arbetet w, beräknas ur temperaturskillnaden oavsett om exansionen skedde reversibelt eller irreversibelt:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w=\Delta U=C_V\cdot(T_2-T_1)}
Precis som i fallet med isoterm expansion finner vi att w minimeras, d.v.s. blir så negativ som möjligt, då processen utförs reversibelt. En reversibel process slutar alltså på en kallare temperatur för en given volymsändring, eftersom systemet har utfört ett större arbete och därmed förlorat mer inre energi.
Entropi
Även den klassiska definitionen av entropi bör skrivas som en differential för att kunna lösa så många problem som möjligt:
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dS = \frac{dq_{rev}}{T}}
Ett exempel på hur detta används i entropiberäkning finns i härledningen av entropiändringen för en temperaturändring på s. 300.
Däremot bör det poängteras att formlerna för entropiändringen vid en fasövergång, t.ex.
- Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta S_{vap} = \frac{\Delta H_{vap}}{T_{vap}}}
inte är approximationer utan exakta uttryck som följer av att vi integrerar Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dq} (eller Misslyckades med att tolka (MathML med SVG- eller PNG-återgång (rekommenderas för moderna webbläsare och tillgänglighetsverktyg): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dH} ) över en väg där vi hela tiden håller trycket och temperaturen konstant.
